Jest to normalne zachowanie u patyczaków rogatych (katalepsja - stan odrętwienia), który jest ich obroną - odnóża przednie wyciągnięte do przodu, reszta rozstawiona i haczą się przedmiotów, gdy je bierzesz - normalka, bronią się przed ich wzięciem (potencjalnym dapieżnikiem). Jeśli przeczytałbyś opis zamieszczony na stronce, to tam jest napisane, że brane na rękę nie uciekają jak patyczaki indyjskie, tylko pozostają w stanie katalepsji. Niepokojące byłoby to, gdyby za dużo biegały, były nadpobudliwe, lub (w drugą stronę) gdyby nie mogły się utrzymać na nogach, leżały "rozpłaszczone", a przy braniu na rękę gubiły odnóża.
Ten drugi zastygły w bezruchu jakby szedł to też wszystko ok, gdyby nie było ok, to by biegał, lub leżał z rozłożonymi wszystkimi odnóżami.

Pojawiająca się kropelka wody na pyszczku to też nic niepokojącego - w ten sposób patyczak pozbywa się nadmiaru wody spożytej wraz z pokarmem. Dodatkowo (jeśli system pozbywania się wody przez otwór gębowy jest mało efektywny) patyczaki rogate pozbywają się nadmiaru wody wydalając bardzo wodniste odchody, a że patyczaki te swoje odchody rozrzucają, to zachlapują ścianki terrarium. Można nawet stwierdzić, kiedy sprzątałeś im terrarium - kropelka wody na aparacie gębowym pojawia się pod wieczór, przed kolejnym posiłkiem owadów.
Z tego co piszesz to dbasz o urozmaicone dla nich menu - niepotrzebnie. W zupełności wystarczą im liście jeżyny lub maliny (najlepszy pokarm dla patyczaków rogatych) wstawione do wody, np. mały słoiczek z podziurawionym wieczkiem, w który wkładasz liście bądź pędy. Przez całe życie, bez żadnego szwanku dla patyczaków, mogą być one karmione jednym gatunkiem rośliny np. jeżyną. Na wolności też nie biegają sobie i nie wyszukują urozmaiconego pokarmu, tylko siędzą np. w zaroślach jeżyny.
Nie polecam podawania patyczakom rogatym trzykrotki (duża zawartość wody, a mała składników pokarmowych), z powodu której prawdopodobnie pojawia się patyczakom, jak pisałeś ślinka. Trzykrotkę zachowaj jako rezerwę na gorszę czasy, ale nawet wtedy, przy karmieniu tylko trzykrotka, może dojść do wycieńczenia owadów i śmierci. Nie będą jadły również agrestu, ani porzeczki, liściu podobnego do łubinu też raczej jeść nie będą.

Pozdrawiam,